Question

椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形球盘，点A，B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，小球（半径忽略不计）从点A沿着不与AB重合的直线出发，经椭圆球盘壁反射后第一次回到点A时，小球经过的路程是（　　）

A．4c

B．4a

C．2a-2c

D．2a+2c

Answer 1

分析：作出示意图如右图，设小球从右焦点A出发，被椭圆上点C反射后，经过椭圆的左焦点B，又被椭圆上点D反射，由D点被弹回A点．由椭圆的定义不难得到△ACD周长为AC+AD+CD=（CA+CB）+（DA+DB）=4a，即得小球经过的路程．

解答：解：如图，设小球从右焦点A出发，被椭圆上点C反射后，
经过椭圆的左焦点B，又被椭圆上点D反射，由D点被弹回A点
∵A、B是椭圆的焦点，点C、D都在椭圆上
∴根据椭圆的定义，得CA+CB=DA+DB=2a，其中2a是椭圆的长轴长
∴△ACD周长为AC+AD+CD=（CA+CB）+（DA+DB）=4a
即小球经过的路程等于4a
故选B

点评：本题以小球在椭圆形球盘内的反射为例，求它从一个焦点出发后回到起点所经过的路程，着重考查了椭圆的定义及简单性质，属于基础题．