题目内容

已知向量
m
=(asinx，cos2x)，
n
=(cosx，b)，f(x)=
m
•
n
+c，其中a，b，c为实数，满足f（x）的图象关于P(
π
3
，0)对称，且在P处的切线斜率为-4，
（1）求f（x）的解析式；
（2）在非钝角△ABC中，f(C)=-
3
，且2sin2B=cosB+cos（A-C），求sinA的值．
分析：（1）由f(
π
3
)=
3
2
a-
b
2
=0 和 f′(
π
3
)=-
a
2
-
3
2
b=-4解出a、b的值，即得f（x）的解析式．
（2）在非钝角△ABC中，由f(C)=-
3
，求出角C 的大小，再由 2sin2B=cosB+cos（A-C），可解得sinA的值．
解答：解：（1）f（x）=asinxcosx+bcos2x+c=
a
2
sin2x+
b
2
(1+cos2x)+c，∵f（x）的图象关于P(
π
3
，0)对称，
∴f(
π
3
)=
3
2
a-
b
2
=0，即b=
3
a，∴f'（x）=acos2x-bsin2x．
∵f′(
π
3
)=-
a
2
-
3
2
b=-4，a+
3
b=8，∴a=2，b=2
3
，
∴f(x)=sin2x+
3
cos2x=2sin(2x+
π
2
)．
（2）f(C)=2sin(2C+
π
3
)=-
3
，则2C+
π
3
=
4π
3
或2C+
π
3
=
5π
3
，得C=
π
2
或C=
2π
3
（舍去），
所以原式即为：2cos2A=sinA+sinA，得sin2A+sinA-1=0，所以sinA=
5
-1
2
．
点评：本题考查两个向量的数量积公式，同角三角函数的基本关系，求出f（x）的解析式是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=（cosx，1-asinx），
n
=（cosx，2），设f（x）=
m
•
n
，且函数f（x）的最大值为g（a）．
（Ⅰ）求函数g（a）的解析式．
（Ⅱ）设0≤θ≤2π，求函数（2cosθ+1）的最大值和最小值以及对应的值．
已知向量
m
=(sinx，1)，
n
=(
3
Acosx，
A
2
cos2x)（A＞0），函数f(x)=
m
•
n
的最大值为1．
（1）求A的值；
（2）设α，β∈[0，
π
2
]，f(
α
2
+
π
6
)=
3
5
，f(
β
2
+
5π
12
)=-
5
13
，求cos（α+β）的值；
（3）将函数y=f（x）的图象向左平移
π
12
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
1
2
倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[0，
5π
24
]上的值域．
已知向量
m
=(cosx，-1)，向量
n
=(
3
sinx，-
1
2
)，函数f(x)=(
m
+
n
)•
m
．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=1，c=
3
，且f（A）恰是f（x）在[0，
π
2
]上的最大值，求A，b和△ABC的面积．
已知向量
m
=（cosx，1-asinx），
n
=（cosx，2），设f（x）=
m
•
n
，且函数f（x）的最大值为g（a）．
（Ⅰ）求函数g（a）的解析式．
（Ⅱ）设0≤θ≤2π，求函数（2cosθ+1）的最大值和最小值以及对应的值．

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