题目内容
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=
x2的焦点，离心率等于
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，是否存在这样的直线l，使
•
=0？若存在，求出直线l的方程，若不存在，试说明理由．
| 1 |
| 8 |
| ||
| 3 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，是否存在这样的直线l，使
| OA |
| OB |
分析：（1）确定抛物线焦点坐标，结合椭圆的离心率，求出几何量，即可求得椭圆的方程；
（2）分类讨论，利用韦达定理，结合向量知识，即可求得结论．
（2）分类讨论，利用韦达定理，结合向量知识，即可求得结论．
解答：解：（1）设椭圆方程为
+
=1（a＞b＞0）
∵抛物线y=
x2，可化为x2=8y，焦点坐标为（0，2），∴b=2
∵离心率等于
，∴
=
∴
=
∴a2=9
∴椭圆方程为
+
=1；
（2）①斜率不存在时，可得A（2，
），B（2，-
），不满足
•
=0；
②斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），代入椭圆方程，消去y可得（4+9k2）x2-36k2x+36k2-36=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
，x1x2=
∴y1y2=k2（x1-2）（x2-2）=k2[x1x2-2（x1+x2）+4]=-
∵
•
=0
∴x1x2+y1y2=0
∴
+
=0
∴k=±
∴直线l的方程为y=±
（x-2）．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∵抛物线y=
| 1 |
| 8 |
∵离心率等于
| ||
| 3 |
| c |
| a |
| ||
| 3 |
∴
| a2-4 |
| a2 |
| 5 |
| 9 |
∴a2=9
∴椭圆方程为
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 4 |
（2）①斜率不存在时，可得A（2，
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| OA |
| OB |
②斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），代入椭圆方程，消去y可得（4+9k2）x2-36k2x+36k2-36=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
| 36k2 |
| 4+9k2 |
| 36k2-36 |
| 4+9k2 |
∴y1y2=k2（x1-2）（x2-2）=k2[x1x2-2（x1+x2）+4]=-
| 20k2 |
| 4+9k2 |
∵
| OA |
| OB |
∴x1x2+y1y2=0
∴
| 36k2-36 |
| 4+9k2 |
| 20k2 |
| 4+9k2 |
∴k=±
| 3 |
| 14 |
| 14 |
∴直线l的方程为y=±
| 3 |
| 14 |
| 14 |
点评：本题考查椭圆的几何性质与标准方程，考查向量知识，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．
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