Question

（2013•保定一模）已知向量

a

=（sin（

ω

2

x），

1

2

），

b

=（cos（

ω

2

x），

1

2

），（ω＞0，x≥0），函数f（x）=

a

•

b

的第n（n∈N^*）个零点记作x_n（从左向右依次计数），则所有x_n组成数列{x_n}．
（1）若ω=

1

2

，求x₂；
（2）若函数f （x）的最小正周期为π，求数列{x_n}的前100项和S₁₀₀．

Answer 1

分析：（1）若ω=

1

2

，可得函数f（x）=

a

•

b

的解析式，由f（x）=0，可得 sin

1

2

x=-

1

2

 （x≥0），故有x=4kπ+

7π

3

，或x=4kπ+

11π

3

，k∈z，由此可得第二个零点的值．
（2）由函数f （x）的最小正周期为π，求得ω=2，可得 函数f（x）=

1

2

sin2x+

1

4

．令f（x）=0，可得 sin2x=-

1

2

，故有x=kπ+

7π

12

，或x=kπ+

11π

12

，k∈z．由此可得S₁₀₀=

49

k=0

(kπ+

7π

12

)+

49

k=0

(kπ+

11π

12

)=

49

k=0

(2kπ+

3π

2

) 运算求得结果．

解答：解：（1）若ω=

1

2

，则向量

a

=（sin

1

4

x，

1

2

），

b

=（cos

1

4

x，

1

2

），
函数f（x）=

a

•

b

=

1

2

sin

1

2

x+

1

4

．
由f（x）=0，可得 sin

1

2

x=-

1

2

 （x≥0），故有

1

2

x=2kπ+

7π

6

，或

1

2

x=2kπ+

11π

6

．
∴x=4kπ+

7π

3

，或x=4kπ+

11π

3

，k∈z．
自左向右第一个零点为 x=

7π

3

，第二个零点为x=

11π

3

，即 x₂=

11π

3

．
（2）∵函数f （x）的最小正周期为π，则ω=2，
∴函数f（x）=

a

•

b

=（sinx，

1

2

）•（cosx，

1

2

）=sinxcosx+

1

4

=

1

2

sin2x+

1

4

．
令f（x）=0，可得 sin2x=-

1

2

，∴2x=2kπ+

7π

6

，或2x=2kπ+

11π

6

，k∈z．
即 x=kπ+

7π

12

，或x=kπ+

11π

12

，k∈z．
∴S₁₀₀=

49

k=0

(kπ+

7π

12

)+

49

k=0

(kπ+

11π

12

)=

49

k=0

(2kπ+

3π

2

)=50×49π+50×

3π

2

=2525π．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，函数的零点的定义和求法，三角函数的周期性，两角和差的正弦公式，等差数列求和，属于中档题．