Question

已知正项数列{a_n}和{b_n}中，a₁=a（0＜a＜1），b₁=1-a．当n≥2时，a_n=a_n-1b_n，b_n=

bn-a

1-a2n-1

．
（1）证明：对任意n∈N^*，有a_n+b_n=1；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）直接利用数学归纳法的证明方法，验证n=1时命题成立，然后假设n=k时命题成立，证明n=k+1时命题也成立即可．
（2）利用已知和（1）的结果，化简a_n+1=a_nb_n+1推出

1

an_+1

-

1

an

=1．然后说明数列{

1

an

}是公差为1的等差数列，其首项为

1

a1

=

1

a

，求出数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（1）证明：用数学归纳法证明．
①当n=1时，a₁+b₁=a+（1-a）=1，命题成立；
②假设n=k（k≥1且k∈N^*）时命题成立，即a_k+b_k=1，则当n=k+1时，a_k+1+b_k+1=a_kb_k+1+b_k+1=（a_k+1）•b_k+1=（a_k+1）•

bk

1- a 2 k

=

bk

1-ak

=

bk

bk

=1．
∴当n=k+1时，命题也成立．
由①、②可知，a_n+b_n=1对n∈N^*恒成立．
（2）∵a_n+1=a_nb_n+1=

anbn

1- a 2 n

=

an(1-an)

1- a 2 n

=

an

1+an

，
∴

1

an+1

=

1+an

an

=

1

an

+1，
即

1

an+1

-

1

an

=1．
数列{

1

an

}是公差为1的等差数列，其首项为

1

a1

=

1

a

，

1

an

=

1

a

+（n-1）×1，从而a_n=

a

1+(n-1)a

．

点评：本题是基础题，考查数学归纳法的证明方法，注意n=k+1的证明过程，增加了2k个区域，这是证明的关键所在，两个步骤缺一不可．注意（2）的裂项法的应用．