Question

已知数列{a_n}满足：a₁=，且a_n=（n≥2，n∈N*）。
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a₁·a₂·…a_n＜2·n！

Answer 1

解：（1）将条件变为：
因此一个等比数列，其首项为，公比
从而
据此得 ①；
（2）据①得
为证a₁·a₂·…a_n＜2·n！
只要证n∈N*时有 ②
显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个n∈N*，有  ③
用数学归纳法证明③式：
（i）n=1时，③式显然成立，
（ii）设n=k时，③式成立
即
则当n=k+1时，


即当n=k+1时，③式也成立
故对一切n∈N*，③式都成立。
利用③得

故②式成立，从而结论成立。