Question

（1）请写出一个各项均为实数且公比0＜q＜1的等比数列，使得其同时满足a₁+a₆=11且a3•a4=

32

9

；
（2）在符合（1）条件的数列中，能否找到一正偶数m，使得am，  

a

2 m

，  -

1

9

这三个数依次成等差数列？若能，求出这个m的值； 若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据a₁•a₆=a₃•a₄，可知a₁，a₆应该是方程x2-11x+

32

9

=0的两个根，进而求出q和a₁的值，得到通项公式；
（2）由am，  

a

2 m

，  -

1

9

成等差数列得出2

a

2 m

=am-

1

9

，再由（1）得出m的值．

解答：解：（1）由条件可知a₁，a₆应该是方程x2-11x+

32

9

=0的两个根，
解得

a1= 1 3  a6= 32 3

或

a1= 32 3  a6= 1 3

，继而得到q=2或q=

1

2

，（4分）
所以符合条件的等比数列可以是an=

1

3

•2n-1（公比q＞1舍去），（3分）
或an=

32

3

•(

1

2

)n-1=

1

3

•26-n(n∈N*)，符合条件（3分）
（2）对于an=

32

3

•(

1

2

)n-1=

1

3

•26-n（3），
由2

a

2 m

=am-

1

9

，（2分）
解得m=6．（2分）

点评：本题考查了等差数列的性质以及等比数列的通项公式，要注意公比0＜q＜1的，属于中档题．