题目内容
已知抛物线y2=4x，过点M（0，2）的直线l与抛物线交于A、B两点，且直线l与x交于点C．（1）求证：|MA|，|MC|、|MB|成等比数列；
（2）设
，
，试问α+β是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
【答案】分析：（1）设直线l的方程为：y=kx+2，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得|MA|，|MC|、|MB|成等比数列，从而解决问题．
（2）由
，
得，
，
，从而利用x1，x2，及k来表示α，β，最后结合（1）中根系数的关系即得故α+β为定值．
解答：解：（1）设直线l的方程为：y=kx+2（k≠0），
联立方程可得
得：k2x2+（4k-4）x+4=0①
设A（x1，y1），B（x2，y2），
，
则
，
②
，
而
，
∴|MC|2=|MA|•|MB|≠0，
即|MA|，|MC|、|MB|成等比数列（7分）
（2）由
，
得，
，
即得：
，
，
则
由（1）中②代入得α+β=-1，
故α+β为定值且定值为-1（13分）
点评：本小题主要考查等比关系的确定、向量坐标的应用、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
（2）由
，得，，，从而利用x1，x2，及k来表示α，β，最后结合（1）中根系数的关系即得故α+β为定值．解答：解：（1）设直线l的方程为：y=kx+2（k≠0），
联立方程可得
得：k2x2+（4k-4）x+4=0①设A（x1，y1），B（x2，y2），
，则
，②，而
，∴|MC|2=|MA|•|MB|≠0，
即|MA|，|MC|、|MB|成等比数列（7分）
（2）由
，得，，即得：
，，则
由（1）中②代入得α+β=-1，
故α+β为定值且定值为-1（13分）
点评：本小题主要考查等比关系的确定、向量坐标的应用、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
练习册系列答案
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