Question

已知函数f（x）=ax+

a

x

-3ln x．
（1）当a=2时，求f （x） 的最小值；
（2）若f（x）在[1，e]上为单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=2时，f（x）=2x+

2

x

-3lnx，求导得f'（x）=2-

2

x2

-

3

x

=

2x2-3x-2

x2

，因为定义域为开区间，求得极值即为最值．
（2）先求f'（x）=

ax2-3x-a

x2

，再由“f（x）在[1，e]上为单调函数”转化为“f'（x）≥0或f'（x）≤0在[1，e]上恒成立”，最后转化为最值法求解．

解答：解：（1）当a=2时，f（x）=2x+

2

x

-3lnx
f'（x）=2-

2

x2

-

3

x

=

2x2-3x-2

x2

令f'（x）=0得x=2或-

1

2

（∵x＞0，舍去负值）
∴当a=2时，函数f（x）的最小值为5-3ln2．（6分）

（2）∵f'（x）=

ax2-3x-a

x2

，
令h（x）=ax²-3x-a=a（x-

3

2a

）²-

9+4a2

4a

，
要使f（x）在[1，e]上为单调函数，
只需f'（x）在（1，e）内满足：f'（x）≥0或f'（x）≤0恒成立，且等号只在孤立点取得．
∵h（1）=-3＜0
∴h（e）=ae²-3e-a≤0
∴a≤

3e

e2-1

①当0≤a≤

3e

e2-1

时，f'（x）≤0恒成立
②当a＜0时，x=

3

2a

∉[1，e]，
∴h（x）＜0（x∈[1，e]）
∴f'（x）＜0，符合题意．
综上可知，当a≤

3e

e2-1

时，f（x）在[1，e]上为单调函数．（14分）

点评：本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围往往转化为求相应函数的最值问题．