题目内容
已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1)，(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的范围；
(2)若f(x)的值域为R，求实数a的范围.
解:(1)若f(x)的定义域为R，则关于x的不等式ax2+2x+1＞0的解集为R，
即
解得a＞1.
(2)若f(x)的值域为R，则ax2+2x+1能取一切正数.
∴a=0或
解得0≤a≤1.
点评:(1)f(x)的定义域是R，求得a＞1，即a＞1时，保证f(x)的定义域是R，但此时由于ax2+2x+1=a(x+
)2+1－
≥1－
，
∴f(x)的值域是［lg(1－
)，+∞)，不要误认为值域也是R.
(2)f(x)的值域是R，意思是要求其真数ax2+2x+1的值必须取到(0，+∞)内的每一个值，这就要求u=ax2+2x+1的最小值1－
不能比零大，否则u就取不到(0，1－
)内的值.故需a=0或
即0≤a≤1.这时若a=0，则f(x)的定义域为(－
，+∞)；若0＜a≤1，则f(x)的定义域为(－∞，x1)∪(x2，
+∞)，其中x1、x2为方程ax2+2x+1=0的两根.不要误认为f(x)的定义域是R.
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