Question

如图，我市市区有过市中心O南北走向的解放路，为了解决南徐新城的交通问题，市政府决定修建两条公路，延伸从市中心O出发北偏西60°方向的健康路至B点；在市中心正南方解放路上选取A点，在A、B间修建徐新路．
（1）如果在A点看市中心O和点B视角的正弦值为

3

5

，求在点B处看市中心O和点A视角的余弦值；
（2）如果△AOB区域作为保护区，已知保护区的面积为

15

4

3

km2，A点距市中心的距离为3km，求南徐新路的长度；南徐新城南徐新路健康路BB西北东A南O解放城解放城正东路
（3）如果设计要求市中心O到南徐新路AB段的距离为4km，且南徐新路AB最短，请你确定两点A、B的位置．

Answer 1

分析：（1）由题意∠A0B=

2

3

π，∠BAO为税角，sin∠BAO=

3

5

，由于；∠OBA=

π

3

-∠BAO，故由差角公式求值即可；
（2）如图在三角形AOB中用余弦定理求解即可．
（3）根据题设条件用余弦定理将南徐新路AB的长度表示出来，再结合基本不等式求最值即可．

解答：解：（1）由题可得∠A0B=

2

3

π，∠BAO为税角，sin∠BAO=

3

5

，
故cos∠BAO=

4

5

，cos∠OBA=cos（

π

3

-∠BAO）=

1

2

×

4

5

+

3

2

× 

3

5

=

4+3 3

10

（2）OA=3，S=

1

2

OA×OB×sin∠BOA=

1

2

OB×3×sin

2

3

π=

15 3

4

，
∴OB=5，由余弦定理可得
AB2=OA2+OB2-2×OA×OBcos

2

3

π=9+25+15=49，∴AB=7
（3）∵

1

2

BA×4=

1

2

×OA×OB×sin∠BOA，∴OA×OB=

8 3

3

AB
AB2=OA2+OB2-2×OA×OBcos

2

3

π
=OA²+OB²+OA×OB≥3OA×OB=3×

8 3

3

AB，
∴AB≥8

3

，等号成立条件是OA=OB=8
答：当AB最短时，A，B距离市中心O为8公里．

点评：本题考查在实际问题中建立三角函数的模型，利用三角函数模型解决实际问题，三角函数模型是一个非常重要的模型，在实际生活中有着很广泛的运用．