Question

设函数f(x)=xsinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]，若f(x1)＞f(x2)，则下列不等式一定成立的是（　　）

A．x₁+x₂＞0

B．x₁²＞x₂²

C．x₁＞x₂

D．x₁²＜x₂²

Answer 1

分析：由f（-x）=-x•sin（-x）=f（x）⇒f（x）=xsinx为偶函数，f′（x）=sinx+xcosx，当x∈[0，

π

2

]⇒f′（x）＞0⇒f（x）单调递增，
⇒x∈[-

π

2

，0]时，f（x）单调递减；于是f（x₁）＞f（x₂）?|x₁|＞|x₂|?x₁²＞x₂²，问题解决了．

解答：解：∵f（-x）=-x•sin（-x）=xsinx=f（x），
∴函数f（x）=xsinx为偶函数，又f′（x）=sinx+xcosx，
∴x∈[0，

π

2

]时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，x∈[-

π

2

，0]时，f′（x）≤0，f（x）单调递减；
∴f（x₁）＞f（x₂）?f（|x₁|）＞f（|x₂|）?|x₁|＞|x₂|?x₁²＞x₂²，
故选B．

点评：本题考查函数单调性的判断与证明，难点在于“f（x）=xsinx在x∈[0，

π

2

]时f（x）单调递增”的证明（导数法）及偶函数性质的综合应用（f（x₁）＞f（x₂）?|x₁|＞|x₂|），属于难题．