Question

已知函数f(x)=-

1

2

x2+(2-m)x，且f（x）＞0的解集为{x|0＜x＜2}
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）解关于x的不等式f(x)＜-

3

2

x2+ax+a．

Answer 1

分析：（1）利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根关系即可得出；
（2）通过对a与-1的大小关系讨论即可得出．

解答：解：（1）∵-

1

2

x2+(2-m)x＞0的解集为{x|0＜x＜2}，
∴0，2是方程-

1

2

x2+(2-m)x=0的两个实数根，∴0+2=-

2-m

- 1 2

，解得m=1；
（2）不等式f(x)＜-

3

2

x2-ax+a即-

1

2

x2+x＜-

3

2

x2+ax-a
整理的：x²+（1-a）x-a＜0因式分解得：（x+1）（x-a）＜0．
当a＞-1时，不等式的解集为{x|-1＜x＜a}；
当a＜-1时，不等式的解集为{x|a＜x＜-1}；
当a=-1时，不等式化为（x+1）²＜0，不等式的解集为∅．

点评：熟练掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根关系、分类讨论的思想方法等是解题的关键．