Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．
（1）证明PA∥平面EDB；
（2）求EB与底面ABCD所成的角的正切值．

Answer 1

分析：（1）连接AC、AC交BD于O．连接EO，因底面ABCD是正方形则点O是AC的中点，根据EO是中位线则PA∥EO，而EO?平面EDB且PA?平面EDB，根据线面平行的判定定理可知PA∥平面EDB．
（2）作EF⊥DC交CD于F．连接BF，设正方形ABCD的边长为a．根据PD⊥底面ABCD则PD⊥DC，从而EF∥PD，F为DC的中点则EF⊥底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，根据线面所成角的定义可知∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角，在Rt△BCF中，求出BF，EF，在Rt△EFB中求出此角的正切值即可．

解答：（1）证明：连接AC、AC交BD于O．连接EO
∵底面ABCD是正方形∴点O是AC的中点．
在△PAC中，EO是中位线∴PA∥EO
而EO?平面EDB且PA?平面EDB，所以，PA∥平面EDB．
（2）解：作EF⊥DC交CD于F．连接BF，设正方形ABCD的边长为a．
∵PD⊥底面ABCD∴PD⊥DC∴EF∥PD，F为DC的中点
∴EF⊥底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角．
在Rt△BCF中，BF=

BC2+CF2

=

a2+( a 2 )2

=

5

2

a
∵EF=

1

2

PD=

a

2

∴在Rt△EFB中tanEBF=

EF

BF

=

a 2

5 2 a

=

5

5

所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为

5

5

点评：本题考查直线与平面平行、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力．