Question

如图组合体中，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面ABB₁A₁是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A，B重合一个点．
（1）求证：无论点C如何运动，平面A₁BC⊥平面A₁AC；
（2）当C是弧AB的中点时，求四棱锥A₁-BCC₁B₁与圆柱的体积比．

Answer 1

（I）因为侧面ABB₁A₁是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A，B重合一个点，所以AC⊥BC（2分）


又圆柱母线AA₁⊥平面ABC，BC属于平面ABC，所以AA₁⊥BC，
又AA₁∩AC=A，所以BC⊥平面A₁AC，
因为BC?平面A₁BC，所以平面A₁BC⊥平面A₁AC；（6分）

（II）设圆柱的底面半径为r，母线长度为h，
当点C是弧

AB

的中点时，三角形ABC的面积为r²，
三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为r²h，
三棱锥A₁-ABC的体积为

1

3

r2h，
四棱锥A₁-BCC₁B₁的体积为r²h-

1

3

r2h=

2

3

r2h，（10分）
圆柱的体积为πr²h，
四棱锥A₁-BCC₁B₁与圆柱的体积比为2：3π．（12分）