题目内容
已知抛物线y2=4x与直线x+y-2=0的交点为A、B,抛物线的顶点为O,在抛物线弧AOB上求一点C,使△ABC的面积最大,并求出这个最大面积.
解：如图,设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为x+y-b=0.将它与抛物线方程y2=4x联立,得方程y2=4(b-y),
即y2+4y-4b=0,由Δ=42-4(-4b)=0,b=-1,
故切线为x+y+1=0,求得切点C(1,-2).
因直线x+y+1=0与x+y-2=0的距离d=
=
,由
解得交点坐标为A(4+2
,-2-2
)、B(4-2
,-2+2
).
∴|AB|=4
.于是S△ABC=
|AB|·d=
·4
·
=6
,
即当C点为(1,-2)时,S△ABC的最大值为6
.
练习册系列答案
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已知抛物线y2=4x，焦点为F，顶点为O，点P（m，n）在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的中点．