Question

【题目】在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，直线为.

（1）求到点和直线的距离相等的点的轨迹方程；

（2）过点作直线交椭圆于点，，又直线交于点，若，求线段的长；

（3）已知点的坐标为，，直线交直线于点，且和椭圆的一个交点为点，是否存在实数，使得？若存在，求出实数，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在,,理由见解析

【解析】

（1）设为,根据描述利用两点间距离公式得到,整理即可；

（2）根据可判断轴,从而得到,代回椭圆方程解得点坐标,进而得到的长；

（3）先假设存在,分别联立直线与直线,直线与椭圆,解出点,点坐标,整理和后即可解出

解：（1）由题,可得为

设为,点到点和直线的距离相等,

即点的轨迹方程为

（2）设直线与轴交点为,且

∽

轴,则

将代入中可得,

由椭圆的对称性可得,

（3）存在,；

假设存在满足题意,由题,直线为 ①,

②,椭圆 ③

由①②可得,,，

由①③可得,,，

,

当时,