Question

已知定义在R上的函数f（x）=x²（ax-3），若函数g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，则正数a的范围

 

．

Answer 1

分析：先对函数f（x）进行求导表示出函数g（x），然后对函数g（x）求导，令导函数等于0求出x，确定极值点，最后求出端点值和极点值比较大小即可得到答案．

解答：解：∵f（x）=x²（ax-3）=ax³-3x²，∴f'（x）=3ax²-6x，
∴g（x）=f（x）+f′（x）=ax³+（3a-3）x²-6x
∴g'（x）=f'（x）=3ax²+6（a-1）x-6，
令g'（x）=0，方程的另个根为x_1，2=

1-a± a2+1

a

，因为a是正数，所以x1x2=

-6

3a

=-

2

a

＜0，
即

1-a- a2+1

a

＜0，

1-a+ a2+1

a

＞0
又g（0）=0，g（2）=20a-24，
当0＜

1-a+ a2+1

a

≤2时，a≥

3

4

，由于g（x）在区间[0，2]先减后增，
当g（0）=0≥g（2）=20a-24时，a≤

6

5

∴

3

4

≤a≤

6

5

当

1-a+ a2+1

a

＞2即a＜

3

4

时，由于g（x）在区间[0，2]减，
显然有g（0）=0＞g（2）=20a-24成立，解得a＜

6

5

∴a＜

3

4

综上所述，0＜a≤

6

5

故答案为：0＜a≤

6

5

点评：本题主要考查函数的求导运算、函数在闭区间上的最值．导数是由高等数学下放到高中的内容，是高中新增的内容，每年必考，要引起重视．