Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的正整数n，都有a_n=5S_n+1成立，记bn=

4+an

1-an

(n∈N*)．
（I）求数列{b_n}的通项公式；
（II）记cn=

5

bn-4

，求数列{c_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析：（I）由a_n=5S_n+1，能推导出an=(-

1

4

)n，再由bn=

4+an

1-an

(n∈N*)，能求出数列{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=4+

5

(-4)n-1

，故cn=

5

bn-4

-(-4)n-1，由此能求出数列{c_n}的前n项和为T_n．

解答：解：（I）∵a_n=5S_n+1，
∴当n=1时，a₁=5a₁+1，
∴a1=-

1

4

，
当n≥2时，a_n=5S_n+1，a_n-1=5S_n-1+1，
两式相减，a_n-a_n-1=5a_n，即an=-

1

4

an-1，
∴数列{a_n}成等比数列，其首项a1=-

1

4

a_n-1，
∴数列{a_n}成等比数列，其首项a₁=-

1

4

，公比是q=-

1

4

，
∴an=(-

1

4

)n，
∴bn=

4+(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )n

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=4+

5

(-4)n-1

，
bn-4=

5

(-4)n-1

，
∴cn=

5

bn-4

-(-4)n-1，
∴Tn=

-4[(1-(-4)n]

1-(-4)

-n
=

4

5

(-4)n-n-

4

5

．

点评：本题考查数列的递推公式的应用，解题时要认真审题，注意迭代法和等价转化思想的合理运用．