Question

已知正项等差数列{a_n}的前n项和为S_n，其中都是数列{a_n}中满足a_h-a_k=a_k-a_m的任意项．
（I）证明：m+h=2k；
（II）证明：S_m•S_h≤S_k²；
（III）若

Sm

、

Sk

、

Sh

也在等差数列，且a₁=a，求数列的前n项和．

Answer 1

（I）证明：设数列{a_n}的公差为d，由题意a₁＜0，d＞0．
∵a_h-a_k=a_k-a_m，
∴（h-k）d=（k-m）d，
∴m+h=2k．
（II）证明：Sm•Sh=

m(a1+am)

2

•

h(a1+ah)

2

=

mh

4

(a1+am)(a1+ah)≤

1

4

•[

m+h

2

]2[

a1+am+a1+ah

2

]2=

1

4

(a1+ak)2k2=[

(a1+ak)k

2

]2=

S

2k

，
∴S_m•S_h≤S_k²．
（III）取m=1，k=2，h=3，显然a₁，a₂，a₃满足a₃-a₂=a₂-a₁．
由

Sm

、

Sk

、

Sh

也成等差数列，则

a1

+

3a1+3d

=2

2a1+d

．
两边平方得2

a1(3a1+3d)

=4a1+d，
再两边平方整理得4a₁²-4a₁d+d²=0，即（2a₁-d）₂=0，
∴d=2a₁=2a．∴a_n=（2n-1）a，S_n=n²a，