题目内容

已知点 $数学公式$ 是椭圆E： $数学公式$ （a＞b＞0）上一点，F₁、F₂分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF₁⊥x轴．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A、B是椭圆E上两个动点，是否存在λ，满足 $数学公式$ （0＜λ＜4，且λ≠2），且M（2，1）到AB的距离为 $数学公式$ ？若存在，求λ值；若不存在，说明理由．

解：（1）∵PF₁⊥x轴，
∴F₁（-1，0），c=1，F₂（1，0），
|PF₂|= $\text{[math]}$ ，2a=|PF₁|+|PF₂|=4，a=2，b²=3，
椭圆E的方程为： $\text{[math]}$ ；（4分）
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由 $\text{[math]}$ 得
（x₁+1，y₁- $\text{[math]}$ ）+（x₂+1，y₂- $\text{[math]}$ ）=λ（1，- $\text{[math]}$ ），
所以x₁+x₂=λ-2，y₁+y₂= $\text{[math]}$ （2-λ）①（5分）
又3x₁²+4y₁²=12，3x₂²+4y₂²=12，
两式相减得3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0②
以①式代入可得AB的斜率k= $\text{[math]}$ （8分）
设直线AB的方程为y= $\text{[math]}$ x+t，
与3x²+4y²=12联立消去y并整理得x²+tx+t²-3=0，
△=3（4-t²）＞0，t∈（-2，2），x₁+x₂=-t=λ-2
点M到直线AB的距离为d= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ （10分）
∵ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 不合题意．故这样的λ不存在（12分）
分析：（1）由PF₁⊥x轴，知F₁（-1，0），c=1，F₂（1，0），|PF₂|= $\text{[math]}$ ，2a=|PF₁|+|PF₂|=4，a=2，b²=3，由此能求出椭圆E的方程．
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由 $\text{[math]}$ 得（x₁+1，y₁- $\text{[math]}$ ）+（x₂+1，y₂- $\text{[math]}$ ）=λ（1，- $\text{[math]}$ ），所以x₁+x₂=λ-2，y₁+y₂= $\text{[math]}$ （2-λ），3x₁²+4y₁²=12，3x₂²+4y₂²=12，由此得3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，AB的斜率k= $\text{[math]}$ ．设直线AB的方程为y= $\text{[math]}$ x+t，与3x²+4y²=12联立消去y并整理得x²+tx+t²-3=0，再由根的判别式和点到直线AB的距离公式知这样的λ不存在．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要灵活运用椭圆性质、点到直线距离公式、根的判别式、韦达定理，注意合理地进行等价转化．