Question

设函数f（x）=x²+aln（1+x）有两个极值点x₁、x₂，且x₁＜x₂，
（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）求f（x₂）的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ），
令，
由题意知是方程g（x）=0的两个均大于-1的不相等的实根，
其充要条件为，
（1）当，∴f（x）在内为增函数；
（2）当，∴f（x）在内为减函数；
（3）当x∈时，，∴f（x）在内为增函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ），，
∴，
∴，
设，
则，
（1）当单调递增；
（2）当单调递减；
∴当，
故。