Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n，a_n+S_n=4096。
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{log₂a_n}的前n项和为T_n，对数列{T_n}，从第几项起T_n＜-509？

Answer 1

解：（1）∵a_n+S_n=4096，
∴a₁+S₁=4096，a₁=2048，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（4096-a_n）-（4096-a_n-1）=a_n-1-a_n，
∴=，a_n=2048（）^n-1；
（2）∵log₂a_n=log₂[2048（）^n-1]=12-n，
∴T_n=（-n²+23n），
由T_n＜-509，解得n＞，
而n是正整数，于是，n≥46，
∴从第46项起T_n＜-509。