Question

已知函数f（x）=|x|-1，关于x的方程f²（x）-|f（x）|+k=0，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根；
③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根．
其中真命题的序号为

①③④

．

Answer 1

分析：利用换元法设t=|x|-1，将方程转化为关于t的一元二次方程t²-|t|+k=0去求解．

解答：解：设t=|x|-1，则t≥-1，当t=-1时，x=0当t＞-1时，x有两解．
则原方程等价为t²-|t|+k=0，即k=-t²+|t|=-（|t|-

1

2

）²+

1

4

．
由图象可知，（1）当k＜0时，t＞1，此时方程恰有2个不同的实根；
（2）当k=0时，t=1或t=0或t=-1，
当t=1时，x有两个不同的解，
当t=0时，x有两个不同的解，
当t=-1时，x只有一个解，所以此时共有5个不同的解．
（3）当0＜k＜

1

2

时，-1＜t＜-

1

2

或-

1

2

＜t＜0或0＜t＜

1

2

或

1

2

＜t＜1，此时对应着8个解．
（4）当k=

1

4

时，t=-

1

2

或t=

1

2

．此时每个t对应着两个x，所以此时共有4个解．
综上正确的是①③④．
故答案为：①③④．

点评：本题主要考查了与二次函数有关的复合函数的根的情况，利用换元法和数形结合是解决本题的关键．