Question

已知函数的图象与x轴相切于点S(s，0)．

(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；

(Ⅱ)若函数f(x)的图象与过坐标原点O的直线l相切于点T(t，f(t))，且f(t)≠0，证明：1＜t＜e；(注：e是自然对数的底)

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由，得．　1分 　　∵函数的图象与轴相切于点， 　　∴，　① 　　且　②　2分 　　联立①②得，．　3分 　　∴．　4分 　　(Ⅱ)． 　　∵函数的图象与直线相切于点，直线过坐标原点， 　　∴直线的方程为：， 　　又∵在直线上，∴实数必为方程　．③的解．　5分 　　令，则， 　　解得，得． 　　∴函数在递减，在递增．　7分 　　∵，且函数在递减， 　　∴是方程在区间内的唯一一个解， 　　又∵，∴不合题意，即．　8分 　　∵，，函数在递增， 　　∴必有．　9分 　　(Ⅲ)∵，∴， 　　由③得，　10分 　　∵，且，∴． 　　∵，∴，　11分 　　∵，，　13分 　　∴， 　　∵在单调递增，∴．　14分 　　本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式、直线方程和三角函数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想、特殊与一般思想． 　　题干可以更简练地表述为“已知直线是函数的一条切线”，但担心影响试题第(Ⅰ)题的得分．第(Ⅱ)题，由切线过点得到关于实数的方程，将问题转化为函数的零点区间判定问题，排除零点在区间内是该题的一个难点(在(Ⅰ)的启发下，想到是区间内的唯一零点，但因而排除)．第(Ⅲ)题的难点有两个，一是的关于t的表达式的化简，二是如何想到通过探讨的值来实现与t取值范围的沟通．试题三问环环相扣，前问为后问提供服务．第(Ⅲ)题还可以用分析法表达解题的过程． 　　创新点：1、函数、导数、直线(倾斜角、斜率、方程)、三角函数、不等式等基础知识的交汇．2、充分体现导数在研究函数性质中的工具性作用． 　　争议点：对零点的考查要求可能会引发一些争议，对分析法的运用也可能会引发一些争议．但“有些了解性的知识或方法，可以甚至是必要在解答题中进行考查”正是命题者想要表达的一种观点