题目内容

已知函数f（x）=2cos²x+2 $数学公式$ sinx-cosx+a-1且a为常数．
（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期及单调增区间；
（2）当x∈[0， $数学公式$ ]时，f（x）的最小值为4，求a的值．

解：函数f（x）=1+2cos2x+ $\text{[math]}$ sin2x+a-1=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+a．
（1）∴f（x）的最小正周期为 T= $\text{[math]}$ =π，由2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，可得
kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，∴递增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈z．
（2）当x∈[0， $\text{[math]}$ ]时， $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，
∴当 2x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时，f（x）的最小值为：2×（- $\text{[math]}$ ）+a=4，故 a=5．
分析：（1）化简函数解析式为2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+a，周期为 T= $\text{[math]}$ ，由 2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，解得x的范围即得递增区间．
（2）当x∈[0， $\text{[math]}$ ]时，求得2x+ $\text{[math]}$ 的范围，利用单调性得 2x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时，f（x）有最小值 4，解方程得到a值．
点评：本题考查三角函数的单调性、周期性以及最值的求法，判断2x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时，f（x）有最小值是解题的关键．