题目内容

已知A，B，C，D是平面内不共线的四点，若存在正实数λ₁，λ₂，使得 $数学公式$ ，则∠ADB，∠BDC，∠ADC

A.
都是锐角
B.
至多有两个钝角
C.
恰有两个钝角
D.
至少有两个钝角

D
分析：由条件可得 $\text{[math]}$ ，两边同时乘以 $\text{[math]}$ 可得，- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＜0，故∠ADB，∠ADC中至少有一个钝角．同理可得∠ADB和∠BDC中至少有一个钝角，∠BDC和∠ADC中至少有一个钝角．从而得到∠ADB，∠BDC，∠ADC中至少有两个钝角．
解答：∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，两边同时乘以 $\text{[math]}$ 可得
- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＜0，又正实数λ₁，λ₂，∴∠ADB，∠ADC中至少有一个钝角．
同理可得∠ADB，∠BDC中至少有一个钝角，∠BDC，∠ADC中至少有一个钝角．
综上可得，∠ADB，∠BDC，∠ADC中至少有两个钝角．
故选D．
点评：此题是个中档题，主要考查数量积表示两个向量的夹角，以及数量积的定义式，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．