Question

已知函数f(x)=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若过A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.

Answer 1

答案：(1)解：f′(x)=3ax²+2bx-3,依题意，f′(1)=f′(-1)=0,

即得a=1,b=0.

∴f(x)=x³-3x.                                                                 

(2)f′(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1).                                                     

∵曲线方程为y=x³-3x且m≠-2,∴点?A(1，m)不在曲线上.

设切点为M(x₀,y₀)，则y₀=x₀³-3x₀,

∵f′(x₀)=3(x₀²-1),故切线斜率为3(x₀²-1)=,

整理，得：2x₀³-3x₀²+m+3=0.

∵过A(1，m)可作曲线的三条切线,

∴关于x₀的方程2x₀³-3x₀²+m+3=0有三个实根.                                   

设g(x₀)=2x₀³-3x₀²+m+3,

则g′(x₀)=6x₀²-6x₀,由g′(x₀)=0得x₀=0或x₀=1,                                   

∴函数g(x₀)的极值点为0,1,

∴关于x₀的方程2x₀³-3x₀²+m+3=0有三个实根的充要条件是g(0)g(1)＜0,

即(m+3)(m+2)＜0,∴-3＜m＜-2,

故所求m的范围是-3＜m＜-2.