Question

已知函数f(x)＝lnx－ax＋1，a∈R是常数．

(1)求函数y＝f(x)的图象在点P(1，f(1))处的切线l的方程；

(2)证明函数y＝f(x)(x≠)的图象在(1)中切线l的下方；

(3)讨论函数y＝f(x)零点的个数．

Answer 1

答案：
解析：

(1)，；1分，所以切线的方程为，即；2分． 　　(2)作，；3分，则 　　，解得；4分． 　　5分 　　所以且，，，即函数()的图像在直线的下方；6分． 　　(3)有零点，即有解，；7分 　　，解得；8分， 　　类似(1)列表讨论知，即若有零点，则；若，则无零点；9分． 　　若，，由⑴知有且仅有一个零点；10分 　　若，单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较知有且仅有一个零点(或：直线与曲线有一个交点)；11分 　　若，解得，类似⑴列表讨论知，在处取最大值；12分， 　　，由幂函数与对数函数单调性比较知，当充分大时，即在单调递减区间有且仅有一个零点；13分； 　　又因为，所以在单调递增区间有且仅有一个零点，综上所述，当时，无零点；当或时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点；14分．