Question

如图，直角△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面，PA⊥平面ABC，DC=BC=2PA，E、F分别为DB、CB的中点，
（1）证明：AE⊥BC；
（2）求直线PF与平面BCD所成的角．

Answer 1

分析：（1）连接EF，AF，由三角形中位线定理，可得EF∥DC，结合已知中直角△BCD，可得EF⊥BC，由等腰三角形三线合一可得BC⊥AF，结合线面垂直的判定定理，可得BC⊥面AEF，进而得到AE⊥BC；
（2）连接PE，EF，因为面BCD⊥面ABC，DC⊥BC，我们易得到四边形APEF为矩形，则∠PFE为PF与面DBC所成的角，解三角形PEF，即可得到答案．

解答：解：（1）证明：连接EF，AF，
EF∥DC所以EF⊥BC（2分）
因为△ABC为等边三角形，所以BC⊥AF（4分）
所以BC⊥面AEF，故BC⊥AE（6分）
（2）连接PE，EF，因为面BCD⊥面ABC，DC⊥BC
所以DC⊥面ABC，而EF∥DC且EF=

1

2

DC，
所以EF∥PA且EF=PA，故四边形APEF为矩形（9分）
易证PE⊥面BCD，
则∠PFE为PF与面DBC所成的角，（12分）
在Rt△PEF中，因为PE=AF=

3

2

BC，EF=

1

2

DC=

1

2

BC，
故∠PFE=60°（14分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质，直线与平面所成的角，其中熟练掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直之间的相互转化是解答本题的关键．