Question

如图，直角△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面，PA⊥平面ABC，DC=BC=2PA，E为DB的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥BC；
（Ⅱ）若点F是线段BC上的动点，设平面PFE与平面PBE所成的平面角大小为θ，当θ在[0，

π

4

]内取值时，求直线PF与平面DBC所成的角的范围．

Answer 1

分析：（I）根据题意需要取BC的中点O，连接EO、AO，则由条件证出EO⊥BC和BC⊥AO，根据线面垂直的判定证出BC⊥面AEO，即证出BC⊥AE；
（II）连接PE、EF，根据面BCD⊥面ABC和DC⊥BC证出DC⊥面ABC，由中位线和条件证出四边形APEO为矩形，根据面BCD⊥面ABC和正△ABC证出AO⊥面BCD，即∠PFE为PF与面DBC所成的角，再由PE⊥面BCD证出∠BEF为面PBE与面PFE所成的角，根据θ的范围和条件求出所求的线面角范围．

解答：证明：（I）取BC的中点O，连接EO，AO，EO∥DC
∵直角△BCD中，DC=BC，∴DC⊥BC，∴EO⊥BC
∵△ABC为等边三角形，∴BC⊥AO，
∵EO∩AO=O，∴BC⊥面AEO，
∴BC⊥AE（4分）

（II）连接PE，连接EF，
∵面BCD⊥面ABC，DC⊥BC，∴DC⊥面ABC，
∵EO∥DC，EO=

1

2

DC
∴EO∥PA，EO=PA，故四边形APEO为矩形（5分）
∵面BCD⊥面ABC，AO⊥面BCD，∴PE⊥面BCD，
则∠PFE为PF与面DBC所成的角，（7分）
又∵PE⊥面BCD，∴PE⊥BE，PE⊥EF，
∴∠BEF为面PBE与面PFE所成的角，
即∠BEF=θ∈[0，

π

4

]，（9分）
此时点F即在线段BO上移动，设DC=BC=2PA=2，
∴EF∈[1，

2

]，tan∠PFE=

PE

EF

=

3

EF

，
∴

3

EF

∈[

3 2

，

3

]
∴直线PF与平面DBC所成的角的范围为[arctan

6

2

，

π

3

]．（12分）

点评：本题是关于线线、线面和面面垂直与线面角、二面角的综合题，利用垂直的判定（性质）定理，实现线线、线面和面面垂直的相互转化，注意定理中的条件；并且作和证明线面角、二面角时注意利用已知的垂直关系来求作出辅助线，考查了推理论证和逻辑思维能力．