Question

已知正方形ABCD的中心在原点，四个顶点都在函数f（x）=ax³+bx（a＞0）图象上．若正方形ABCD唯一确定，则b的值为

-2

2

．

Answer 1

分析：设正方形ABCD对角线AC所在的直线方程为y=kx，则其斜率唯一确定，转化为二元方程只有唯一实数根，利用根的判别式求解即可．

解答：解：设正方形ABCD对角线AC所在的直线方程为y=kx（k≠0），
则对角线BD所在的直线方程为y=-

1

k

x．
由

y=kx y=ax3+bx

，解得x²=

k-b

a

，
所以AO²=x²+y²=（1+k²）x²=（1+k²）•

k-b

a

，
同理，BO²=[1+（-

1

k

）²]•

- 1 k -b

a

=

1+k2

k2

•

1 k +b

a

，
又因为AO²=BO²，所以k³-k²b+

1

k

+b=0．（10分）
即k²+

1

k2

-b（k-

1

k

）=0，即（k-

1

k

）²-b（k-

1

k

）+2=0．
令k-

1

k

=t得t²-bt+2=0
因为正方形ABCD唯一确定，则对角线AC与BD唯一确定，于是k-

1

k

值唯一确定，
所以关于t的方程t²-bt+2=0有且只有一个实数根，又k-

1

k

=t∈R．
所以△=b²-8=0，即b=±2

2

．（14分）
因为x²=

k-b

a

＞0，a＞0，所以b＜k；又

- 1 k -b

a

＞0，所以b＜-

1

k

，故b＜0．
因此b=-2

2

；
反过来b=-2

2

时，t=-

2

，k-

1

k

=-

2

，
于是k=

- 2 + 6

2

，-

1

k

=

- 2 - 6

2

；或k=

- 2 - 6

2

，-

1

k

=

- 2 + 6

2

．
于是正方形ABCD唯一确定．（16分）
故答案为：-2

2

．

点评：本小题主要考查函数的解析式的求法以及导数，单调性，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．