题目内容

已知x²+x≤6，求 $数学公式$ 的最大值和最小值，并求相应的x的值．

解：由x²+x≤6，得-3≤x≤2…（2分）
令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ …（2分）
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（2分）
则当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，此时x=1；…（3分）
当t=8，y_max=57，此时x=-3；…（3分）
分析：由题意，先解一元二次不等式x²+x≤6，得出函数 $\text{[math]}$ 的定义域，再令 $\text{[math]}$ 用换元法将此函数变为二次函数，利用二次函数的性质求出最值，再由此时t的取值求出相应的x的值
点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，解题的关键是利用换元法将指数型函数转化为二次函数，再由二次函数的性质求出最值，利用换元法转化是本题的重点，换元后求出新元t的取值范围是解题的难点，换元法是一种非常重要的技巧，由于其变换后使得解析式大大简化，方便了解题，故在求函数值域及最值时应用非常广泛．