Question

已知函数f(x)=a-

1

2x+1

．
（1）判断并证明函数f（x）的单调性；
（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？若存在求出a的值，不存在请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若

1

1 2 -f(x)

＜4x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数解析式，求出函数的导函数，根据导函数值大于0恒成立，可得函数是定义在R上的增函数
（2）根据奇函数的定义，我们令f（x）+f（-x）=0，由此构造关于a的方程，解方程可得a的值
（3）根据（2）中条件可得函数的解析式，进而可将不等式

1

1 2 -f(x)

＜4x+m恒成立，转化为m＞-4^x+2^x+1=-(2x-

1

2

)2+

5

4

恒成立，根据指数函数的性质及二次函数的性质及恒成立的实际意义，可得实数m的取值范围．

解答：解：（1）函数f(x)=a-

1

2x+1

是定义在R上增函数，理由如下：
∵f(x)=a-

1

2x+1

∴f′(x)=

2x+1+2x•ln2

(2x+1)

=

2x(1+ln2)+1

(2x+1)

＞0恒成立
∴函数f(x)=a-

1

2x+1

是定义在R上增函数．
（2）假设存在实数a使函数f（x）为奇函数
则f（0）=0
即a-

1

2

=0
解得a=

1

2

此时f(x)=

1

2

-

1

2x+1

，f(-x)=

1

2

-

1

2-x+1

f（x）+f（-x）=

1

2

-

1

2x+1

+

1

2

-

1

2-x+1

=1-1=0恒成立
故存在a=

1

2

使函数f（x）为奇函数
（3）由（2）得f(x)=

1

2

-

1

2x+1

由

1

1 2 -f(x)

＜4x+m恒成立，得
2^x+1＜4^x+m，即m＞-4^x+2^x+1=-（2^x）²+2^x+1=-(2x-

1

2

)2+

5

4

恒成立
故m＞

5

4

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性和单调性，函数恒成立问题，其中熟练掌握函数奇偶性和单调性的定义及证明方法是解答的关键．