Question

已知点G是△ABC的重心.

(1)求++；

(2)过G作直线与AB、AC两条边分别交于M、N，且=x·，=y·，试求的值.

Answer 1

解：(1)方法1：延长AG到E，使得AG=GE，并设AE与BC交于D，则D是BC的中点.

由BC和GE互相平分知四边形BGCE为平行四边形，∴+=.

∵+=0，∴++=0.

方法2：延长AG与BC交于D，则=2=(+)+(+)，

∴++=+=0.

(2)令=b，=c，则=xb，=yc，=13(b+c).

∴=-=(-x)b+c，=-=-b+(y-)c.

    由与共线，知(-x)(y-)=×(-)，从而=3.

说明：本题第(1)小题采用了向量加法的平行四边形法则，也可以设三角形三个顶点坐标，利用教科书5.5节例2结论证明；第(2)小题还可利用5.3节例5结论求解：=(b+c)=(·+·)=·+·，由M、G、N共线得=1，

    即=3.