Question

过P(1，0)作曲线C：y＝x^k，的切线，切点为Q₁，设Q₁点在x轴上的投影为P₁；又过P₁作曲线C的切线，切点为Q₂，设Q₂点在x轴上的投影是P₂点…，依次下去，得到一系列点Q₁，Q₂，…Q_n，…设Q_n的横坐标是a_n．

(1)求证：a_n＝()ⁿ，n∈N₊；

(2)求证：a_n≥1＋；

(3)求证：＜k²－k(注＝a₁＋a₂＋…＋a_n)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)＝kxk－1，若切点是Qn(an，)，则切线方程y－＝k(x－an) 　　当n＝1时，切线过p(1，0) 　　即0－＝k(1－a1)，得a1＝ 　　当n＞1时，切线过点Pn－1(an－1，0)， 　　即0－ak＝k(an－1－an)，得＝ 　　∴数列{an}是首项为，公比为的等比数列，an＝()n，n∈N+ 　　(2)an＝()n＝(1＋)n＝Cn0＋Cn1＋Cn2()2＋…＋Cnn()n≥Cn0＋Cn1＝1＋ 　　(3)记Sn＝＋＋…＋＋ 　　则Sn＝＋＋…＋＋两式相减(1－)Sn＝＋＋…＋－＜＋＋…＋ 　　Sn＜＜k－1，故Sn＜k2－k．