题目内容
过点P(1，0)作曲线C：y=x2(x＞0)的切线，切点为Q1.设Q1在x轴上的投影是P1，又过P1作曲线C的切线，切点为Q2，设Q2在x轴上的投影是P2，…，依次下去，得到一系列点Q1，Q2，…，Qn，设点Qn的横坐标为an.(Ⅰ)求a1的值，并求an与an-1(n≥2)的关系式；
(Ⅱ)令bn=
，设数列{bn}的前n项和为Tn,求
Tn；
(Ⅲ)令Sn=a1+a2+…+an，比较Sn与P(n)=n2+2n-1，n∈N*的大小.
解：(Ⅰ)y=2x,过点Qn(an,,)切线方程为y-=2an(x-an).
当n=1时,切线y-
=2a1(x-a1)过(1,0),得a1=2,
当n≥2时,切线y-
=2an(x-an)过Pn-1(an-1,0),得an=2an-1.
(Ⅱ)∵an=2an-1,∴{an}是以2为首项,公比为2的等比数列,
∴an=2n, (5分)
bn=
,(6分)
.
(Ⅲ)Sn=a1+a2+…+an=2n+1-2,P(n)=n2+2n-1=(n+1)2-2.
∴要比较Sn与P(n)的大小,只要比较2n+1与(n+1)2的大小即可.
当n=l时,S1=P(1)；当n=2时,S2＜P(2)；
当n=3时,S3=P(3)；
当n≥4时,2n+1=(1+1)n+1展开式至少6项,
∴2n+1=(1+1)n+1=
≥2(
)=2[1+n+1+1+
]＞(n+1)2.
∴当n≥4时,Sn＞P(n). (也可用数学归纳法证明略).
练习册系列答案
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的大小,并证明你的结论；
,数列{bn}的前n项和为Sn,求证：对任意的正整数n均有
≤Sn＜2．
(
>0)，过点P(1，0)作曲线
的两条切线PM、PN，为M、N．
的单调递增区间；
，在区间[2，
]内总存在
+1个实数
、
、…、
、
，使得不等式g(
的切线，切点为Q1，设Q1在
轴上的投影是Pl，又过P1作曲线C的切线，切点为Q2，设Q2在
，设点Q
．
的值，并求出
的关系；
，设数列{
}的前
项和为
，求
.
，求数列{bn}的前n项和Tn.