Question

已知函数f(x)=2x-

k

x

+

k

3

（k∈R）．
（1）若集合{x|f（x）=x，x∈R}中有且只有一个元素，求k的值；
（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x，变形为二次方程，根据△=0，求参数k的值；
（2）由增函数的定义知对任意的1＜x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）＜0，由此不等式得到k的关系式，求解即可得到k的取值范围．

解答：解：（1）由f（x）=x得x2+

k

3

x-k=0，由△=0，解得k=-36或k=0（舍），∴k=-36
（2）设1＜x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=

(x1-x2)(2x1x2+k)

x1x2

＜0∴2x1x2+k＞0，
∴k＞-2x₁x₂，
∵-2x₁x₂＜-2，
∴k≥-2．

点评：本题考查函数单调性的性质，解题的关键是将题设中所给的条件进行正确转化如（1）中，转化一元二次方程有一根，（2）根据增函数的定义转化出关于参数的不等式．本题考查了转化化归的能力．