Question

已知抛物线的方程为x²=2py(p＞0),过点P(0,p)的直线l与抛物线相交于A、B两点,分别过点A、B作抛物线的两条切线l₁和l₂,记l₁和l₂相交于点M.

(1)证明直线l₁和l₂的斜率之积为定值;

(2)求点M的轨迹方程.

Answer 1

(1)解：依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+p,

将其代入x²=2py,消去y整理，得x²-2pkx-2p²=0.

设A，B的坐标分别为A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则x₁x₂=-2p².

将抛物线的方程改写为y=x²,求导得y′=x.

所以过点A的切线l₁的斜率是k₁=,过点B的切线l₂的斜率是k₂=,

故k₁k₂==-2,所以直线l₁和l₂的斜率之积为定值-2.

(2)解：设M(x,y).因为直线l₁的方程为y-y₁=k₁(x-x₁),即y(x-x₁),

同理,直线l₂的方程为y(x-x₂),

联立这两个方程,消去y，得=(x-x₂)(x-x₁),

整理，得(x₁-x₂)(x)=0,注意到x₁≠x₂,

所以x=.

此时y=+(x-x₁)=+(-x₁)==-p.

由(1)知，x₁+x₂=2pk,所以x==pk∈R.

所以点M的轨迹方程是y=-p.