Question

（1）求焦点为（0，-6），（0，6）且经过点（2，-5）的双曲线方程；
（2）正三角形的一个顶点位于抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，另外两个顶点在抛物线上，求正三角形的边长．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出双曲线方程，根据c=6，双曲线经过点（2，-5），建立方程，即可求得双曲线方程；
（2）确定正三角形的边所在直线的方程与抛物线方程联立，即可求正三角形的边长．
解答：解：（1）由题意，双曲线的焦点在y轴上且c=6
设方程为（a＞0，b＞0），则a²+b²=c²=36
∵双曲线经过点（2，-5）
∴
∴a²=20，b²=16
∴双曲线方程为；
（2）∵抛物线y²=2px关于x轴对称，
∴若正三角形的一个顶点位于焦点，另外两个顶点在抛物线y²=2px（p＞0）上，
∴A，B点关于x轴对称，
∴直线FA倾斜角为30°，斜率为
∴直线FA方程为y=（x-）
与抛物线方程联立，可得y2-2py-p²=0
∴y=（+2）p或y=（-2）p
∴|AB|=2（+2）p或|AB|=2（-2）p．
点评：本题考查双曲线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．