题目内容

已知向量 $数学公式$ =（2sinx， $数学公式$ cosx）， $数学公式$ =（sinx，2sinx），函数f（x）= $数学公式$ • $数学公式$ ．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥m对x∈[0， $数学公式$ ]都成立，求实数m的最大值．

解：（Ⅰ）∵向量 $\text{[math]}$ =（2sinx， $\text{[math]}$ cosx）， $\text{[math]}$ =（sinx，2sinx），函数f（x）= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ．
∴f（x）=2sin²x+2 $\text{[math]}$ sinxcosx= $\text{[math]}$ sin2x-cos2x+1=2sin（2x- $\text{[math]}$ ）+1
∴ $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ （k∈Z）
∴ $\text{[math]}$ （k∈Z）
∴f（x）的单调递增区间为 $\text{[math]}$ （k∈Z）；
（Ⅱ）不等式f（x）≥m对x∈[0， $\text{[math]}$ ]都成立，即f（x）_min≥m成立
∵x∈[0， $\text{[math]}$ ]，∴2x- $\text{[math]}$ ∈ $\text{[math]}$
∴sin（2x- $\text{[math]}$ ）∈ $\text{[math]}$
∴f（x）=2sin（2x- $\text{[math]}$ ）+1∈[0，3]
∴m≤0
∴m的最大值为0．
分析：（Ⅰ）根据向量 $\text{[math]}$ =（2sinx， $\text{[math]}$ cosx）， $\text{[math]}$ =（sinx，2sinx），函数f（x）= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，利用向量的数量积公式，结合二倍角、辅助角公式化简函数，从而可得f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）不等式f（x）≥m对x∈[0， $\text{[math]}$ ]都成立，即f（x）_min≥m成立．
点评：本题考查向量的数量积运算，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确确定函数解析式是关键．