Question

(理)如图，直三棱柱A₁B₁C₁－ABC中，C₁C＝CB＝CA＝2，AC⊥CB．D、E分别为棱C₁C、B₁C₁的中点．

(1)求点B到平面A₁C₁CA的距离；

(2)求二面角B－A₁D－A的余弦值；

(3)在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A₁BD？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵A1B1C1－ABC为直三棱住　∴CC1⊥底面ABC　∴CC1⊥BC 　　∵AC⊥CB　∴BC⊥平面A1C1CA　2分 　　∴BC长度即为B点到平面A1C1CA的距离 　　∵BC＝2　∴点B到平面A1C1CA的距离为2　3分 　　(2)∵A1B1C1－ABC为直三棱住　C1C＝CB＝CA＝2 　　AC⊥CB　D、E分别为C1C、B1C1的中点 　　建立如图所示的坐标系得 　　C(0，0，0)　B(2，0，0)　A(0，2，0) 　　C1(0，0，2)　B1(2，0，2)　A1(0，2，2) 　　D(0，0，1)　E(1，0，2)　5分 　　　设平面A1BD的法向量为n 　　　　7分 　　平面ACC1A1的法向量为m＝(1，0，0)　　8分 　　(3)在线段AC上存在一点F，设F(0，y，0)使得EF⊥平面A1BD　10分 　　欲使EF⊥平面A1BD　由(2)知，当且仅当n∥ 　　　 　　∴存在唯一一点F(0，1，0)满足条件即点F为AC中点　12分