Question

已知函数f（x）=e^x-kx，
（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；
（2）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（3）设函数F（x）=f（x）+f（-x），求证：F（1）F（2）…F（n）＞( en+1+2)

n

2

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0，f′（x）＜0
（2）f（|x|）是偶函数，只需研究f（x）＞0对任意x≥0成立即可，即当x≥0时f（x）_min＞0
（3）观察结论，要证F（1）F（2）…F（n）＞( en+1+2)

n

2

，即证[F（1）F（2）…F（n）]²＞（eⁿ⁺¹+2）ⁿ，变形可得[F（1）F（n）][F（2）F（n-1）]…[F（n）F（1）]＞（eⁿ⁺¹+2）ⁿ，可证F（1）F（n）＞eⁿ⁺¹+2，F（2）F（n-1）＞eⁿ⁺¹+2，F（n）F（1）＞eⁿ⁺¹+2．问题得以解决．

解答：解：（Ⅰ）由k=e得f（x）=e^x-ex，所以f'（x）=e^x-e．
由f'（x）＞0得x＞1，故f（x）的单调递增区间是（1，+∞），
由f'（x）＜0得x＜1，故f（x）的单调递减区间是（-∞，1）．
（Ⅱ）由f（|-x|）=f（|x|）可知f（|x|）是偶函数．
于是f（|x|）＞0对任意x∈R成立等价于f（x）＞0对任意x≥0成立．
由f'（x）=e^x-k=0得x=lnk．
①当k∈（0，1]时，f'（x）=e^x-k＞1-k≥0（x＞0）．
此时f（x）在[0，+∞）上单调递增．
故f（x）≥f（0）=1＞0，符合题意．
②当k∈（1，+∞）时，lnk＞0．
当x变化时f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，lnk）	lnk	（lnk，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值	单调递增

由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k-klnk．
依题意，k-klnk＞0，又k＞1，∴1＜k＜e．
综合①，②得，实数k的取值范围是0＜k＜e．
（Ⅲ）∵F（x）=f（x）+f（-x）=e^x+e^-x，∴F（x₁）F（x₂）=ex1+x2+e-(x1+x2)+ex1-x2+e-x1+x2＞ex1+x2+e-(x1+x2)+2＞ex1+x2+2，
∴F（1）F（n）＞eⁿ⁺¹+2，F（2）F（n-1）＞eⁿ⁺¹+2，F（n）F（1）＞eⁿ⁺¹+2．
由此得，[F（1）F（2）F（n）]²=[F（1）F（n）][F（2）F（n-1）][F（n）F（1）]＞（eⁿ⁺¹+2）ⁿ
故F(1)F(2)F(n)＞(en+1+2)

n

2

，n∈N^*．

点评：本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．