Question

已知数列{a_n}的通项公式为an=

8n

(4n2-1)2

，S_n为其前n项的和，计算S₁，S₂，S₃的值，根据计算结果，推测出计算S_n的公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

S₁=a₁=

8

9

，S₂=a₁+a₂=

24

25

，S₃的=S₂ +a₃=

48

49

．
猜测 S_n =

(2n+1)2-1

(2n+1)2

．
证明：①当n=1时，由以上可知，猜测成立．
②假设n=k时，猜测成立，即 S_K=

(2k+1)2-1

(2k+1)2

．
则n=k+1时，S_K+1=S_K+a_k+1=

(2k+1)2-1

(2k+1)2

+

8(k+1)

[4(k+1)2-1]2

 
=

(2k+1)2-1

(2k+1)2

+

8(k+1)

(2k+1)2(2k+3)2

=

[(2k+1)2-1](2k+3)2+8(k+1)

(2k+1)2(2k+3)2

 
=

(2k+3)2-1

(2k+1)2(2k+3)2

=

[2(k+1)+1 ]2-1

(2k+1)2(2k+3)2

．
故当n=k+1时，猜测仍然成立．
综合①②可得，猜测对任意的正整数都成立．