Question

已知圆O：x²+y²=r²（r＞0）与直线x-y+2

2

=0相切．
（1）求圆O的方程；
（2）过点（1，

3

3

）的直线l截圆所得弦长为2

3

，求直线l的方程；
（3）设圆O与x轴的负半轴的交点为A，过点A作两条斜率分别为k₁，k₂的直线交圆O于B，C两点，且k₁k₂=-2，试证明直线BC恒过一个定点，并求出该定点坐标．

Answer 1

分析：（1）由圆O与直线相切，得到圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即可确定出圆的方程；
（2）分两种情况考虑：当直线l斜率不存在时，直线x=1满足题意；当直线l斜率存在时，设出直线方程，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离d=r，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出此时直线l的方程，综上，得到满足题意直线l的方程；
（3）根据题意求出A的坐标，设出直线AB的解析式，与圆方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之积，将A的横坐标代入表示出B的横坐标，进而表示出B的纵坐标，确定出B坐标，由题中k₁k₂=-2，表示出C坐标，进而表示出直线BC的解析式，即可确定出直线BC恒过一个定点，求出定点坐标即可．

解答：解：（1）∵圆O：x²+y²=r²（r＞0）与直线x-y+2

2

=0相切，
∴圆心O到直线的距离d=

2 2

12+(-1)2

=2=r，
∴圆O的方程为x²+y²=4；   
（2）若直线l的斜率不存在，直线l为x=1，
此时直线l截圆所得弦长为2

3

，符合题意；
若直线l的斜率存在，设直线为y-

3

3

=k（x-1），即3kx-3y+

3

-3k=0，
由题意知，圆心到直线的距离为d=

| 3 -3k|

9k2+9

=1，解得：k=-

3

3

，
此时直线l为x+

3

y-2=0，
则所求的直线为x=1或x+

3

y-2=0；
（3）由题意知，A（-2，0），设直线AB：y=k₁（x+2），
与圆方程联立得：

y=k1(x+2) x2+y2=4

，
消去y得：（1+k₁²）x²+4k₁²x+（4k₁²-4）=0，
∴x_A•x_B=

4k12-4

1+k12

，
∴x_B=

2-2k12

1+k12

，y_B=

4k1

1+k12

，即B（

2-2k12

1+k12

，

4k1

1+k12

），
∵k₁k₂=-2，用

-2

k1

代替k₁得：C（

2k12-8

4+k12

，

-8k1

4+k12

），
∴直线BC方程为y-

-8k1

4+k12

=

4k1  1+k12 - -8k1  4+k12

2-2k12 1+k12 - 2k12-8 4+k12

（x-

2k12-8

4+k12

），
即y-

-8k1

4+k12

=

3k1

2-k12

（x-

2k12-8

4+k12

），
整理得：y=

3k1

2-k12

x+

2k1

2-k12

=

3k1

2-k12

（x+

2

3

），
则直线BC定点（-

2

3

，0）．

点评：此题考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系，涉及的知识有：韦达定理，直线的两点式方程，点到直线的距离公式，以及恒过定点的直线方程，利用了分类讨论的思想，是一道综合性较强的试题．