Question

设函数，f（x）=x²-alnx，g（x）=x²-x+m，令F（x）=f（x）-g（x）
（Ⅰ）当m=0，x∈（1，+∞）时，试求实数a的取值范围使得F（x）的图象恒在x轴上方
（Ⅱ）当a=2时，若函数F（x）在[1，3]上恰好有两个不同零点，求实数m的取值范围
（Ⅲ）是否存在实数a的值，使函数f（x）和函数g（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）当m=0时，函数F（x）的图象恒在x轴上方等价于F（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，将a分离出来，然后研究另一侧函数的最小值即可求出a的范围；
（II）函数F（x）在[1，3]上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=m，在[1，3]上恰有两个相异实根，然后利用导数研究y=x-2lnx在[1，3]的值域即可求出m的范围．
（III）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在实数a的值，使函数f（x）和函数g（x）在公共定义域上具有相同的单调性，再利用导数工具，求出函数的单调区间，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（I）当m=0时，函数F（x）的图象恒在x轴上方等价于F（x）＞0在（1，+∞）上恒成立
由m=0，F（x）＞0可得-alnx＞-x∵x∈（1，+∞）
则a＜

x

lnx

记?(x)=

x

lnx

，则F(x)＞0在(1，+∞)恒成立
等价于a＜?（x）_min（x∈（1，+∞））
又?′(x)=

lnx-1

ln2x

∴当x∈（1，e）时；?'（x）＜0；当x∈（e，+∞）时，?'（x）＞0
故φ（x）在x=e处取得极小值，
也是最小值，即?（x）_min=?（e）=e∴a＜e
故a的取值范围是（-∞，e）．…（5分）
（II）函数F（x）在[1，3]上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=m，
在[1，3]上恰有两个相异实根．
令h(x)=x-2lnx，则h′(x)=1-

2

x

=

x-2

x

当x∈[1，2）时，h'（x）＜0，当x∈（2，3]时，h'（x）＞0
故在[1，3]上h（x）_min=h（2）=2-ln2…（8分）
又h（1）=1，h（3）=3-2ln3∵h（1）＞h（3）∴只需h（2）＜m≤h（3）
故m的取值范围是（2-2ln2，3-2ln3]．…（9分）
（III）存在a=

1

2

，
使得函数f（x）和函数g（x）在公共定义域上具有相同的单调性．…（10分）
因为f（x）和g（x）的公共定义域为（0，+∞）
由g（x）=x²-x+m知，g（x）在（0，+∞）上单调递增区间是(

1

2

，+∞)，
单调递减区间是(0，

1

2

)…（11分）
由f(x)=x2-alnx，f′(x)=2x-

a

x

=

2x2-a

x

若a≤0，则f（x）'＞0，
函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，不合题意；
若a＞0，由f（x）'＞0可得2x²-a＞0，
解得x＞

a 2

由f′(x)＜0可得0＜x＜

a 2

故a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为(

a 2

，+∞)，
单调递减区间为(0，

a 2

)
故只需

a 2

=

1

2

，解之得a=

1

2

．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的值域、研究闭区间上的值域等有关问题，是一道综合题，属于中档题．