Question

已知实数a≠0，函数f（x）=ax（x-2）²（x∈R）．
（1）若函数f（x）有极大值32，求实数a的值；
（2）若对?x∈[-2，1]，不等式f(x)＜

16

9

恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的导函数，令导函数等于0求出此时x的值，因为函数有极大值32，把求得的x值代入函数解析式f（x）中求出函数值，让函数值等于32列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）根据（1）求出的导函数等于0时x的值，分a大于0和a小于0，在闭区间[-2，1]上，分区间判断导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性分别得到函数f（x）的最大值，让f（x）的最大值小于

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9

分别列出关于a的不等式，分别求出不等式的解集即可得到实数a的取值范围，求出的a的范围的并集即可得到所有满足题意的a的范围．

解答：解：（1）∵f（x）=ax（x-2）²=ax³-4ax²+4ax，
∴f′(x)=3ax2-8ax+4a=3a(x-

2

3

)(x-2)．
令f′（x）=0，解得3a(x-

2

3

)(x-2)=0，
∴x=

2

3

或x=2．
∵f（x）=ax（x-2）²（x∈R）有极大值32，又f（2）=0．
∴f（x）在x=

2

3

时取得极大值，
∴f(

2

3

)=

32

27

a=32，a=27．
（2）由f′(x)=3a(x-

2

3

)(x-2)知：
当a＞0时，函数f（x）在[-2，

2

3

]上是增函数，在[

2

3

，1]上是减函数．
此时，ymax=f(

2

3

)=

32

27

a．
又对?x∈[-2，1]，不等式f(x)＜

16

9

恒成立．
∴

32

27

a＜

16

9

得a＜

3

2

，
∴0＜a＜

3

2

．
当a＜0时，函数f（x）在[-2，

2

3

]上是减函数，在[

2

3

，1]上是增函数．
又f（-2）=-32a，f（1）=a，
此时，y_max=f（-2）=-32a．
又对?x∈[-2，1]，不等式f(x)＜

16

9

恒成立．
∴-32a＜

16

9

得a＞-

1

18

，
∴-

1

18

＜a＜0．
故所求实数的取值范围是(-

1

18

，0)∪(0，

3

2

)．

点评：此题考查学生会利用导数研究函数的极值，掌握函数恒成立时所满足的条件，是一道综合题．