Question

如果函数f（x）对任意的实数x，存在常数M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就称函数f（x）为有界泛函数，下面四个函数：①f（x）=1；②f（x）=x²；③f（x）=（sinx+cosx）x；④f(x)=

x

x2+x+1

其中属于有界泛函数的是（　　）

A．①②

B．①③

C．③④

D．②④

Answer 1

函数f（x）对任意的实数x，存在常数M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就称函数f（x）为有界泛函数，
∴①取x=0，则|f（x）|=1，|x|=0，故不存在常数M，使得不等式|f（x）|≤M|x|成立，因此①不是有界泛函数；
②若f（x）=x²是有界泛函数，则x²≤M|x|，取x=M+1，则有（M+1）²＞M（M+1），故与假设矛盾，因此②不是有界泛函数；
③f（x）=（sinx+cosx）x≤

2

|x|，故③是有界泛函数；
④f(x)=

x

x2+x+1

≤

4

3

|x|，故④是有界泛函数；
故选C．