Question

已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）=，则

1. A.
   函数f（x）的值域为[1，4]
2. B.
   关于x的方程f（x）-=0（n∈N^*）有2n+4个不相等的实数根
3. C.
   当x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的面积为2
4. D.
   存在实数x₀，使得不等式x₀f（x₀）＞6成立

Answer 1

C
分析：分类讨论：①当1≤x≤时，f（x）=8x-8，；当时，f（x）=16-8x；②当2＜x≤3时，则，此时f（x）==-4=2x-4；
当3＜x≤4时，则，此时f（x）==8-；依此类推：当2^n-1≤x≤3•2^n-2时，f（x）==2^5-2n（x-2^n-1），
此时，0≤f（x）≤2^3-n；当3•2^n-2＜x≤2ⁿ时，f（x）=-2^5-2n（x-2ⁿ），此时，0≤f（x）≤2^3-n．据此即可判断答案．
解答：①当1≤x≤时，f（x）=8x-8，此时，0≤f（x）≤4；当时，f（x）=16-8x，此时，0≤f（x）＜4；
②当2＜x≤3时，则，此时f（x）==-4=2x-4，此时，0≤f（x）≤2；
当3＜x≤4时，则，此时f（x）==8-，此时，0≤f（x）＜2；
…，
依此类推：当2^n-1≤x≤3•2^n-2时，f（x）==2^5-2n（x-2^n-1），
此时，0≤f（x）≤2^3-n；当3•2^n-2＜x≤2ⁿ时，f（x）=-2^5-2n（x-2ⁿ），此时，0≤f（x）≤2^3-n．
据此可得：函数f（x）的值域为[0，4]，故A不正确；当n=1时，，有且仅有7个不等实数根，不是2×1+4=6个不等实数根，故B不正确；当x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的面积S==2，故C正确；xf（x）＞6?，由f（x）的图象可得到：当x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）时，可得：，故D不正确．
综上可知：只有C正确．
故选C．
点评：本题综合考查了分类讨论思想方法、直线方程、函数的单调性、函数的交点与方程的根、如何否定一个命题等基础知识与基本技能，考查了数形结合的方法与能力、类比推理能力和计算能力．