Question

已知二次函数f（x）=x²-2x+t与两坐标轴分别交于不同的三点A、B、C．
（1）求实数t的取值范围；
（2）当t=-3时，求经过A、B、C三点的圆F的方程；
（3）过原点作两条相互垂直的直线分别交圆F于M、N、P、Q四点，求四边形MPNQ的面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，利用根的判别式与抛物线不经过原点，建立关于t的不等式，解之即可得到实数t的取值范围；
（2）当t=-3时，代入函数表达式求出A、B、C的坐标，再根据圆的标准方程建立方程组，解之即可得到经过A、B、C三点的圆F的方程；
（3）作FD⊥MN、FE⊥PQ，垂足分别为D、E，则D、E分别为MN、PQ的中点，从而得出|MN|=2

5-|FD|2

，|PQ|=2

5-|FE|2

．由矩形的性质得到|FD|²+|FE|²=|OF|²=2，再利用对角线互相垂直的四边形面积公式与基本不等式加以计算，可得四边形MPNQ的面积的最大值．

解答：解：（1）根据题意，可得

△=4-4t＞0 t≠0

，
解之得t＜1且t≠0，
即实数t的取值范围为（-∞，0）∪（0，1）；
（2）当t=-3时，二次函数f（x）=x²-2x-3=（x-3）（x+1），
∴图象交x轴于点A（-1，0），B（3，0），交y轴于点C（0，-3），
设经过A、B、C的圆方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，
可得

(-1-a)2+(0-b)2=r2 (3-a)2+(0-b)2=r2 (0-a)2+(-3-b)2=r2

，解之得a=1，b=-1，r=

5

．
∴经过A、B、C三点的圆F的方程为（x-1）²+（y+1）²=5；
（3）如图所示，作FD⊥MN、FE⊥PQ，垂足分别为D、E，
由垂径定理得D、E分别为MN、PQ的中点，
可得|MN|=2

5-|FD|2

，|PQ|=2

5-|FE|2

．
∵|FD|²+|FE|²=|OF|²=2
∴四边形MPNQ的面积为
S=

1

2

•|MN|•|PQ|=

1

2

×2

5-|FD|2

×2

5-|FE|2

=2

5-|FD|2

×

5-|FE|2

≤（5-|FD|²）+（5-|FE|²）=10-（|FD|²+|FE|²）=8，
因此，当且仅当|FD|=|FE|=1，四边形MPNQ的面积有最大值等于8．

点评：本题着重考查了二次函数的图象与性质、圆的标准方程及其应用、垂径定理、四边形的面积公式和利用基本不等式求最值等知识，属于中档题．